Déficit no ensino de matemática no Brasil

Segundo levantamento da ONG Todos pela Educação, publicado em abril de 2013, o número de estudantes brasileiros que apresentam rendimento escolar satisfatório na matéria de matemática na rede pública de ensino do Brasil teve queda nos anos do ensino fundamental. O estudo comparou a evolução dos estudantes entre os anos 2007 e 2010. A pesquisa da instituição visa detalhar a evolução do rendimento considerando os dados da Prova Brasil, exame aplicado pelo governo federal no país. No ano de 2007, o percentual de alunos com bom rendimento em matemática era de 22% no quinto ano; em 2011, esse percentual havia caído para 12% no último ano. O estudo detectou que 88% dos estudantes não sabiam calcular porcentagens e questões de áreas e colunas. Grande parte dos alunos chegam no ensino médio com ampla defasagem em matemática. Em língua portuguesa, a queda foi de 26% para 23%. Esse quadro comprometerá a formação de mão de obra qualificada para o país e, posteriormente, o nível de cidadania da população. Além da falta de professores, a aplicação de aulas e provas pouco dinâmicas e pouco inteligíveis, são as principais causas do problema. A matemática ainda é vista como algo muito impossível de se entender, distante da realidade do aluno e de sua compreensão. No ranking mundial de aprendizagem de matemática, o país ocupa a 57ª posição numa lista que possui 65 países.

Os textos matemáticos (em escrita cuneiforme) mais antigos foram encontrados na Mesopotâmia. Na China, é inventado o ábaco, primeiro instrumento mecânico para calcular. São criadas as tabuadas e o cálculo de área é desenvolvido. Estas coisas aconteceram entre 3000 e 2500 a.C.

Aproximadamente em 1600 a.C., é escrito o papiro de Rhind, principal texto matemático dos egípcios, este contem regras para o cálculo de adições e subtrações de frações, equações simples de 1º grau, diversos problemas de aritmética, medições de superfícies e volumes. De 550 até 450 a.C., é estabelecida a era pitagórica, caracterizada por grandes conhecimentos na geometria elementar, como o teorema de Pitágoras. Os pitagóricos foram os primeiros a analisar a noção de número e estabelecer as relações de correspondência entre a aritmética e a geometria. Definiram os números primos, algumas progressões e a teoria das proporções. O matemático grego Erastótenes idealizou um método com o qual pôde medir a circunferência da terra, isto ocorreu entre 276 e 194 a.C. Entre os anos 300 e 600 o povo hindu cria o sistema numérico decimal que usamos hoje. No ano 1100, Omar Khayyam desenvolve um método para desenhar um segmento cuja longitude fosse a raiz real positiva de um polinômio cúbico dado. Em 1525, o matemático alemão emprega o atual símbolo da raiz quadrada. Em 1545, Gerolamo Cardano publica o método geral para a resolução de equações do 3º grau. Em 1550, Ferrari torna público o método de resolver equações do 4º grau. Em 1591, François Viète aplica, pela primeira vez, a álgebra à geometria. Em 1614, os logaritmos são inventados por Napier. Em 1619, Descartes cria a geometria analítica. No ano 1642, Blaise Pascal constrói a primeira maquina de calcular, com a qual podia-se somar ou subtrair com números de até seis dígitos. Em 1684, é criado, ao mesmo tempo, por Newton e Leibniz o cálculo infinitesimal. Em 1746, D’Alembert enuncia e demonstra parcialmente que qualquer polinômio de grau n tem n raízes reais. No período compreendido entre o ano 1761 e 1895, muita coisa aconteceu. Johann Lambert prova que o número p é irracional (1761). Leonard Euler, matemático suíço, simboliza a raiz quadrada de -1 com a letra i (de imaginário) (1777). O matemático italiano Paolo Ruffini enuncia e demonstra parcialmente a impossibilidade de resolver equações de 5º grau (1798). Laplace publicou em Paris a Teoria Analítica das Probabilidades, onde faz um desenvolvimento rigoroso da teoria das probabilidades com aplicação a problemas demográficos, jurídicos e explicando diversos fatos astronômicos (1812). Bernhard Bolzano cria o teorema que leva seu nome (1817). O matemático russo Georg Cantor cria a teoria dos conjuntos (entre 1872 e 1895). Em 1904, o matemático sueco Niels F. Helge Von Koch constrói a curva que leva seu nome. As medalhas Fields são criadas para premiar os matemáticos que se destacam (1924). Em 1975, Mitchell Feigenbaum descobre um modelo matemático que descreve a transição da ordem ao caos. Em 1977, os matemáticos K. Appel e W. Haken resolvem o histórico teorema das quatro cores com a ajuda de um computador.

Gugol, ou números longos

Números muito grandes sempre foi um dos assuntos preferidos pelos matemáticos da teoria dos números. Conta-se que o GUGOL (10 elevado a 100) ou 1 seguido de 100 zeros - de onde o buscador Google buscou inspiração, foi invenção de um destes teóricos dos números. O memsmo procurava um nome para seu enorme número. Seu filho, ainda pequeno e que não sabia falar, balbuciou à pergunta do pai: "Como chamaremos a este número filhinho? resposta: GUUUUGOOOOL!!! Os indianos sempre tiveram uma paixão por números longos, o que é intimamente relacionado aos seus pensamentos religiosos. Por exemplo, em textos que pertencem à literatura védica datados de 1500 a.C. a 500 a.C., pode-se achar nomes sânscritos individuais para cada uma das potências de 10 até um trilhão e mesmo até 1062. (Até hoje, as palavras 'lakh' e 'crore', referentes a 100000 (cem mil) e 10000000 (dez milhões) respectivamente, estão em uso comum entre indianos falantes de inglês.) Um destes textos védicos, o Yajur Veda (c. 1200–900 a.C), até discute o conceito do infinito numérico (purna "abundância", "plenitude"), afirmando que, subtraindo purna de purna, o que resta continua sendo purna. O Lalitavistara Sutra (uma obra budista maaiana) reconta uma competição incluindo escrita, aritmética, luta e arco-e-flecha, em que Buddha competiu contra o grande matemático Arjuna e revelou suas habilidades numéricas citando os nomes das potências de 10 até 1 'tallakshana', que é igual a 1053, e então continuando a explicar que este é só um de uma série de sistemas de contagem que podem ser expandidos geometricamente. O último número ao qual ele chegou depois de passar por nove sistemas de contagem sucessivos foi 10421, ou seja, um 1 seguido por 421 zeros. Também existe um sistema análogo de termos sânscritos para números fracionários, capazes de lidar com ambos números muito grandes e números muito pequenos. O maior número nas obras budistas é uma potência de 10 elevado a 1037218383881977644441306597687849648128, que apareceu no Avataṃsaka Sūtra. De certo que bem maior que um Gugol, aliás maior que um GUGOLPLEXO, que é 10 elevado a um Gugol! Ainda sobre este número absurdamente grande dos indianos, que segundo os mesmos é um ciclo do Universo ou uma respiração de Siva, um dos seus santos explicou a seus alunos como apreender seu tamanho com uma comparação. Imagine que a cada 100 anos, um sábio munido com um lenço da mais fina seda, vá ao topo do Himalaia e muito suavelmente dê uma esfregadela com este lenço. Quando o Himalália se desgastar até o nível do mar, aí teremos um ciclo de Siva.

Matemática Egípcia

Os antigos egípcios utilizavam seus conhecimentos para resolver problemas como controle das inundações, construção de sistemas hidráulicos, preparação da terra para a semeadura, mumificação de cadáveres, etc. Os primeiros exemplos atestados de cálculos matemáticos são datados do período pré-dinástico Naqada, e mostram um sistema numeral totalmente desenvolvido. A importância da matemática para um egípcio educado é sugerido por uma carta ficcional do Império Novo em que o escritor propõe uma competição acadêmica entre ele e outro escriba nas tarefas diárias, tais como cálculo de contabilidade de trabalho, terra e grãos.317 Textos como os papiros de Rhind e o de Moscou mostram que os antigos egípcios podiam realizar as quatro operações matemáticas básicas – adição, subtração, multiplicação e divisão, – usavam frações, calculavam volumes de caixas e pirâmides, e calculavam áreas de retângulos, triângulos, círculos e até mesmo esferas. Eles entendiam os conceitos básicos de álgebra e geometria, e podiam resolver conjuntos simples de equações simultâneas. A notação matemática era decimal, com base em sinais hieróglifos para cada potência de dez até um milhão. Cada um desses símbolos poderia ser escrito tantas vezes quanto necessário para somar o número desejado. Por exemplo, para escrever o número 880 o símbolos de dez e cem eram escritos oito vezes, respectivamente.319 Por seus métodos de cálculo não poderem lidar com frações com numerador maior que um, as frações dos antigos egípcios eram escritas como a soma de várias frações. Por exemplo, a fração 2⁄5 (dois quintos) era representada pela soma de 1⁄3 (um terço) com 1⁄15 (um quinze avos), o que era facilitado pela existência de tabelas.320 Algumas frações comuns, porém, eram escritas com um hieróglifo especial; existia, por exemplo um hieróglifo para representar 2⁄3 (dois terços). A proporção áurea parece refletir-se em muitas construções egípcias, incluindo as pirâmides, mas seu uso pode ter sido uma consequência não intencional da prática egípcia de combinar o uso de cordas com nós com um senso intuitivo de proporção e harmonia.322 Os matemáticos egípcios antigos compreendiam os princípios subjacentes ao teorema de Pitágoras, sabendo, por exemplo, que um triângulo tinha um ângulo reto oposto à hipotenusa quando seus lados estavam em uma proporção 3-4-5. Eles eram capazes de estimar a área de um círculo, subtraindo um nono de seu diâmetro e elevando ao quadrado o resultado, o que é uma aproximação razoável da fórmula.

Matemática grega

Egípcios, babilónicos e chineses, muito antes do século -VI, eram já capazes de efetuar cálculos e medidas de ordem prática com grande precisão. Foram os gregos, no entanto, que introduziram as rigorosas provas dedutivas e o encadeamento sistemático de teoremas demonstrativos que tornaram a Matemática uma ciência. A palavra "matemática" (μαθηματική), que é de origem grega, englobava a aritmética, a geometria, a astronomia e a mecânica. Antigamente, apenas a aritmética e a geometria, as duas áreas teóricas que mais atraíram os gregos antigos, eram consideradas ciências puramente matemáticas. Alguns filósofos como Tales de Mileto (625 a.C. - 545 a.C.), Pitágoras de Samos (570 a.C. - 495 a.C.) e Demócrito de Abdera (c. 460 a.C.). Outros também eram sofistas, como Hípias de Élisa (século V a.C.); outros dedicavam-se quase exclusivamente à geometria e às suas aplicações mecânicas e astronômicas, como Euclides (295 a.C.), Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.) e Apolônio de Perga (200 a.C.). Diofanto de Alexandria notabilizou-se por seus estudos de álgebra. A contribuição dos filósofos pré-socráticos à matemática, enquanto ciência, são discutíveis e em grande parte fruto de tradição mal documentada. As mais antigas evidências concretas sobre as atividades de um matemático propriamente dito referem-se a Hipócrates de Quios (c. 470 a.C. - 400 a.C.). Nossos conhecimentos sobre Hipócrates de Quios e outros matemáticos anteriores ao século IV a.C., no entanto, baseiam-se em fragmentos de suas obras e em tradições conservadas nos séculos posteriores. O mais antigo tratado matemático que chegou até nós é o "Da esfera móvel", de Autólico (360 a.C. - 290 a.C.), um estudo a respeito da piramidia da esfera. Dos matemáticos posteriores restam-nos diversas obras de valor desigual, dentre as quais destaca-se Os Elementos, de Euclides, cuja influência persiste até hoje. O interesse pela História da Matemática começou, também, na Grécia Antiga. Eudemo de Rodes (século IV a.C.), um dos discípulos de Aristóteles, escreveu histórias da aritmética, da geometria e da astronomia que, infelizmente, não foram conservadas. Durante o período greco-romano, matemáticos como Papo de Alexandria e Teon, pai da filósofa Hipatia, discutiram e comentaram a obra de seus predecessores.

Como é que é?

O austríaco Kurt Gödel (em alemão, pronuncia-se AFI: [kʊʁt ˈɡøːdl̩] ouça) (Brünn, Áustria-Hungria[1], 28 de Abril de 1906 — Princeton, Estados Unidos, 14 de Janeiro de 1978) foi um matemático austríaco, naturalizado americano. É responsável por uma das curiosidades mais interessantes e bizarras da matemática. O “Teorema da incompletude” que leva seu nome tem duas teorias, mas a segunda delas é capaz de confundir a cabeça até do fã mais radical dessa ciência. Isto significa que se o sistema é auto-consistente, então existirão proposições que não poderão ser nem comprovadas nem negadas por este sistema axiomático. E se o sistema for completo, então ele não poderá validar a si mesmo — seria inconsistente. Calma, explicamos: uma fórmula não pode garantir sua própria existência – mas isso pode ser feito por outra verdade matemática, que dá continuidade ao ciclo. Que confusão!

O poder do “4”

Escrito pelo brasileiro Júlio César de Melo e Sousa, sob o pseudônimo Malba Tahan, o livro “O Homem que Calculava” trazia, entre outras teorias, a dos “quatro quatros”. Nem precisa de tudo isso: o 4 dá conta do recado. (Fonte da imagem: ThinkStock) Segundo ela, é possível formar qualquer número inteiro de 0 a 100 utilizando quatro numerais 4 e sinais de operações matemáticas, como soma, divisão, exponenciação ou fatorial. Deseja obter um “3”? É só fazer a seguinte operação: (4+4+4)/4. Fãs de Tahan já afirmam conseguir obter qualquer número até a casa dos 100.000. Será que você consegue?

Quadrado perfeito

Obtendo um quadrado perfeito. Você sabia que adicionando o número 1 à multiplicação de quatro números consecutivos você obtém um quadrado perfeito? Exemplo 1: 1*2*3*4+1 = 24+1=25 (quadrado de 5) Exemplo 2: 2*3*4*5+1 = 120+1=121(quadrado de 11)

BLAISE PASCAL

Blaise Pascal foi um Filósofo e Matemático francês, nasceu em Clermont em 1623 e morreu em 1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, também Matemático. Em 1632, toda a família foi viver em Paris. O pai de Pascal, que tinha uma concepção educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele próprio a ensinar os filhos e que Pascal não estudaria Matemática antes dos 15 anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemáticos. Contudo, movido pela curiosidade, Pascal começou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos, chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Então o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cópia do livro de Euclides. Aos 14 anos, Pascal começou a acompanhar o seu pai nas reuniões de Mersenne, onde se encontravam muitas personalidades importantes. Aos 16 anos, numa das reuniões, Pascal apresentou uma única folha de papel que continha vários teoremas de Geometria Projetiva, incluindo o hoje conhecido como "Hexagrama místico" em que demonstra que "se um hexágono estiver inscrito numa cônica, então as intersecções de cada um dos 3 pares de lados opostos são colineares". Em Fevereiro de 1640 foi publicado este seu trabalho – "Ensaio sobre secções cônicas", no qual trabalhou durante 3 anos Em 1639 a família de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen, onde o seu pai tinha sido nomeado coletor de impostos da Normandia Superior.

Aos dezoito anos e com o objetivo de ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos, Pascal inventou a primeira máquina digital, chamada Pascalinne para levar a cabo o processo de adição e subtração, e posteriormente organizou a produção e comercialização destas máquinas de calcular (que se assemelhava a uma calculadora mecânica dos anos 40). Pelo menos sete destes «computadores» ainda existem; uma foi apresentada à rainha Cristina da Suécia em 1652. Quando o seu pai morreu em 1651, Pascal escreveu a uma das suas irmãs uma carta sobre a morte com um profundo significado cristão em geral e em particular sobre a morte do pai. Estas suas ideias religiosas foram a base para a sua grande obra filosófica "Pensées" que constitui um conjunto de reflexões pessoais acerca do sofrimento humano e da fé em Deus. Em Física destacou-se pelo seu trabalho "Tratado sobre o equilíbrio dos líquidos" relacionado com a pressão dos fluídos e hidráulica. O princípio de Pascal diz que a pressão em qualquer ponto de um fluido é a mesma, de forma a que a pressão aplicada num ponto é transmitida a todo o volume do contentor. Este é o princípio do macaco e do martelo hidráulicos. Pascal estudou e demonstrou no trabalho do "Triângulo aritmético", publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, já Tartaglia usara o triângulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam. Este famoso triângulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o número de linhas, é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de números em que cada número é igual à soma do par de números acima de si. O triângulo de Pascal apresenta inúmeras propriedades e relações, por exemplo, "as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci. Em correspondência com Fermat, durante o Verão de 1654, Pascal estabeleceu os fundamentos da Teoria das Probabilidades. O seu último trabalho foi sobre a Ciclóide – a curva traçada por um ponto da circunferência que gira, sem escorregar, ao longo de uma linha reta. Durante esse ano desinteressou-se pela ciência; passou os últimos anos da vida a praticar caridade e decidiu dedicar-se a Deus e à religião. Faleceu com 39 anos devido a um tumor maligno que tinha no estômago se ter estendido ao cérebro.

BHASKARA

Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na Índia. Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia. Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época. Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais. Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são: Equações INDETERMINADAS ou diofantinas: chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de: y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1 Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala (ou pulverizador). Mas, e a fórmula de Bhaskara ?

EXEMPLO: para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra: "multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso." É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x2 = px + q e x2 + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado. Bhaskara conhecia a regra acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara. Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau: Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau: No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita é mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos. Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau: Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte comparáveis.

JEAN BERNOULLI

Os irmãos Jacques e Jean Bernoulli foram discípulos importantes de Leibniz. Nenhuma família na história da humanidade produziu tantos matemáticos quanto a família Bernoulli, doze ao todo, que contribuíram de modo inigualável na criação e desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Foram os Bernoulli que usaram pela primeira vez a palavra integral (1669) e, pouco depois, Leibniz concordaria que Cálculus Integralis seria um nome melhor que Cálculus Sommatorius. A família Bernoulli teve sua origem na Holanda, na cidade da Antuérpia, fugindo para a Suíça, por serem protestantes. Jean Bernoulli nasceu na cidade da Basiléia, Suíça, no dia 07 de agosto de 1667. Filho de Nicolau Bernoulli, também pai de outros dois matemáticos : Jacques e Nicolau. Embora o Sr Nicolau tivesse proporcionado muito conhecimento de matemática aos filhos, não pretendia que os mesmos se dedicassem a ela. Esperava que seus filhos fossem ministros religiosos ou médicos. De início, Jean segue o caminho estipulado pelo pai, chegando a escrever uma tese de doutoramento em medicina sobre fermentação, com apenas 23 anos de idade. A partir de 1691, Jean tornou-se um apaixonado pela teoria do cálculo diferencial e integral, escrevendo dois livros sobre cálculo, em 1692, Jean encontrava-se em Paris e, para ganhar a vida, tornou-se professor particular de um jovem, Guilherme François L'Hospital, Marquês de St Mesme, Com o qual fez um pacto : em troca de um salário mensal dado pelo marquês, Jean concordaria em passar para o mesmo suas descobertas matemáticas para serem usadas como o marquês desejasse. O resultado deste acordo foi que uma das mais importantes contribuições de Jean Bernoulli, datada de 1694, para resolução de limites indeterminados, passou a ser conhecida mundialmente como regra de L'Hospital, Analysis des Infinites Petits (Análise dos Infinitamente Pequenos), publicado em Paris em 1699. A publicação é tida como primeiro livro de cálculo diferencial e Integral editado no mundo, cuja importância foi enorme para a divulgação do cálculo entre os estudiosos do século XVIII. Neste livro, L'Hospital demonstra ser um escritor exímio expondo de maneira ordenada, através de seus dotes pedagógicos, toda a evolução das principais idéias-suportes das integrais e derivadas. Este livro teve um sucesso tão grande, que durante dois séculos foi publicado com tiragens de milhares de exemplares. No prefácio, L'Hospital agradece de maneira especial a Jean Bernoulli e a Leibniz. Em 1695, Bernoulli foi convidado a ser professor da Universidade de Groningen e, em 1696, começa a interessar-se pelo o que seria o cálculo varicional. Nesta época, propôs, na revista Acta Eruditorium, o célebre problema do tempo mínimo de descida de um corpo sob ação do campo gravitacional, problema este resolvido por Euler e por vários matemáticos, inclusive pelo próprio Jean. Em 1694, casa-se com Marie Euler, sobrinha do grande Euler, com a qual teve três filhos, todos gênios : Nicolau I, Daniel I e Jean II. Estes fariam grandes trabalhos dentro da física e da matemática e não seria por menos, pois em suas veias corria o sangue de duas grandes famílias: os Euler e os Bernoulli. Em 1704, após a morte de L'Hospital, acusa-o a outros matemáticos de Ter plagiado vários de seus resultados, o qual foi considerado infundado por seus contemporâneos. No entanto, anos depois, quando tornou-se pública a correspondência entre ele e L'Hospital, os matemáticos perceberam que todas as grandes idéias do segundo, foram dadas pelo primeiro. Em 1711, Jean Bernoulli era conhecido no mundo todo devido a seus importantes trabalhos dentro da matemática, da física e da engenharia, principalmente pelos seus estudos sobre as propriedades da catenária, sendo homenageado, várias vezes, por reis e rainhas. Diz a lenda em torno de seu nome que ao se apresentar onde não era conhecido, as pessoas respondiam : se você é Bernoulli, então nós somos Newton.

RIEMANN

Georg Friedrich Bernhard Riemann, nasceu em 17 de setembro de 1826, e morreu em 20 de julho de 1866. Foi um dos matemáticos alemães mais influentes século 19. Ele desenvolveu os assuntos de equações diferenciais parciais, teoria das variáveis complexas, geometria diferencial, teoria do número analítico e pôs as fundações para a topologia moderna. Seu manuscrito "Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (Nas hipóteses que mentem à fundação da Geometria), apresentado em 1854, se tornou um clássico da matemática, e seus resultados foram incorporados na teoria relativística de Albert EINSTEIN de gravitação.

Riemann era filho de um pastor luterano e tinha problemas de saúde desde a infância. Mesmo com a família em condições financeiras precárias, seu pai conseguiu proporcionar-lhe uma boa educação que começou na Universidade de Göttingen e continuou na Universidade Humboldt de Berlim. Obteve o doutorado na Universidade de Göttingen, com uma tese no campo da teoria das funções complexas. Na tese encontramos as equações diferenciais de Cauchy-Riemann, que garantem a análise de uma função de variável complexa e o conceito de superfícies de Riemann, que trouxe considerações topológicas à análise. Com uma definição própria - integral de Riemann, tornou mais claro o conceito de integrabilidade abrindo caminho para a generalização deste conceito no século XX - a integral de Lebesgue e daí para horizontes mais amplos como a relatividade geral. A hipótese de Riemann é uma hipótese (ou conjectura) matemática, publicada pela primeira vez em 1859 por Bernhard Riemann, que declara que os zeros não-triviais da função zeta de Riemann pertencem todos à "linha crítica": A hipótese de Riemann sobre os números primos é de tal importância que tem intrigado os matemáticos há mais de 150 anos. A hipótese é um dos poucos problemas não resolvidos do programa de Hilbert e foi colocado como problema número 1 de Smale. É tão difícil que em 2000 o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio de 1 milhão de dólares a quem prová-lo.

ARQUIMEDES

Arquimedes nasceu em Siracusa, na Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egito. Consagrou-se à Matemática, mais especialmente à Geometria. Muito jovem ainda começou a distinguir-se por seus trabalhos científicos. De regresso à Siracusa consagrou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios e fazer aplicações que o imortalizaram. Descobertas: Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio da Hidrostática que traz seu nome, talvez sejam mais notáveis suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro. Na Hidrostática, o "Princípio de Arquimedes" pode e deve ser considerado uma importante descoberta que determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas e produziu felizes resultados. Possui aplicações nas ciências naturais, na Farmácia e mesmo nas freqüentes atividades do cotidiano. Podemos enunciar esse Princípio em duas partes: a) Todo corpo submerso em um líquido, desloca desse líquido uma quantidade determinada, cujo volume é exatamente igual ao volume do corpo submerso. b) O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume de líquido igual ao volume submerso do corpo. Arquimedes inventou a balança que tem seu nome e foi o primeiro a determinar as leis do equilíbrio na balança. As atividades de seu pai, o astrônomo Fídias, influíram, sem dúvida, na vocação e formação científica de Arquimedes que, desde jovem, esteve em Alexandria, onde travou amizade com vários mestres alexandrinos. Heureca! De volta a Siracusa, dedicou toda a sua vida à pesquisa científica. Uma das estórias mais conhecidas a respeito de Arquimedes é a da "Coroa de ouro de Hieron", contada da seguinte maneira: "Entre o grande número de descobertas realizadas por Arquimedes, é necessário assinalar a seguinte: Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituíndo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios. Um dia em que Arquimedes, preocupado com esse assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma. Esta observação lhe fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e correndo para sua casa, gritava: Heureka! Heureka!, isto é, "encontrei! encontrei!". Sobre a base desta descoberta, tomou, então, duas massas de igual peso que o da coroa: uma de ouro e outra de prata. Mergulhou depois a massa de prata em um vaso, o que fez sair uma quantidade de água igual ao volume dessa massa; tirou, então, a massa e voltou a encher o vaso com uma quantidade de água igual à que se derramara e que se preocupara em medir, de maneira que pode conhecer a quantidade de água que correspondia à massa de prata que introduzira no vaso. Depois desta experiência, mergulhou igualmente a massa de ouro no vaso cheio de água e, depois de havê-lo retirado, mediu novamente a água transbordada, encontrando que a massa de ouro não deslocara tanta água como a de prata e que a diferença para menos era igual à diferença entre os volumes da massa de ouro e da massa de prata em igual peso. Finalmente, voltou a encher o vaso, mergulhando desta vez a coroa, que deslocou mais água do que deslocara a massa de ouro de igual peso, porém menos que a massa de prata. Calculando, então, de acordo com estas experiências, em quanto a quantidade de água que a coroa desalojara era maior que aquela que deslocara a massa de ouro, soube quanta era a prata que fora misturada ao ouro, mostrando, assim, claramente, a fraude do artesão". A morte de Arquimedes A morte de Arquimedes é narrada de diferentes maneiras. Segundo Plutarco, a morte de Arquimedes veio depois que o exército romano conquistou as partes mais importantes da cidade sitiada: "Tomadas também estas, na mesma manhã marchou Marcelo para os Hexápilos, dando-lhe parabéns todos os chefes que estavam às suas ordens; mas dele mesmo se diz que ao ver e registrar do alto a grandeza e beleza de semelhante cidade, derramou muitas lágrimas, compadecendo-se do que iria acontecer... ...os soldados que haviam pedido se lhes concedesse o direito ao saque... e que fosse incendiada e destruída. Em nada disso consentiu Marcelo e, só por força e com repugnância, condescendeu em que se aproveitassem dos bens e dos escravos... mandando expressamente que não se desse morte, nem se fizesse violência, nem se escravizasse nenhum dos siracusanos... Mas, o que principalmente afligiu a Marcelo foi o que ocorreu com Arquimedes: encontrava-se este, casualmente, entregue ao exame de certa figura matemática e, fixo nela seu espírito e sua vista, não percebeu a invasão dos romanos, nem a conquista da cidade. Apresentou-se-lhe repentinamente um soldado, dando-lhe ordem de que o acompanhasse à casa de Marcelo; ele, porém, não quis ir antes de resolver o problema e chegar até a demonstração; com o que, irritado, o soldado desembainhou a espada e matou-o... Marcelo o sentiu muito e ordenou ao soldado assassino que se retirasse de sua presença como abominável, e mandando buscar os parentes do sábio, tratou-os com o maior apreço e distinção". Na produção de Arquimedes revela-se exclusivamente o investigador. Seus escritos são verdadeiras memórias científicas, trabalhos originais, nos quais se dá por conhecido todo o produzido antes sobre o tema e apresentam-se elementos novos, próprios. As principais obras de arquimedes foram sobre: 1. A esfera e o cilindro - Um dos mais belos escritos de Arquimedes. Entre os seus resultados, a área lateral do cone e do cilindro. 2. Os conóides e os esferóides. - Refere-se aos sólidos que hoje designamos elipsóide de revolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução. 3. As espirais. - É um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de rotação e translação. Entre os resultados, encontra-se um processo para retificar a circunferência. 4. A medida do círculo. - Contém apenas 3 proposições e é um dos trabalhos que melhor revela a mente matemática de Aristóteles. Em uma ostentação técnica combinam-se admiravelmente a matemática exata e a aproximada, a aritmética e a geometria, para impulsionar e encaminhar em nova direção o clássico problema da quadratura do círculo. 5. Quadratura da Parábola. - Este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura, isto é, de determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea: o segmento da parábola. 6. O Arenário. - Arquimedes realiza um estudo, no qual intercala um sistema de numeração próprio, que lhe permite calcular e, sobretudo exprimir quantidades enormes, e uma série de considerações astronômicas de grande importância histórica, pois nelas se alude ao sistema heliocêntrico da antiguidade, devido a Aristarco de Samos. 7. O equilíbrio dos planos. - É o primeiro tratado científico de estática. A alavanca, os centros de gravidade de alguns polígonos, entre outros resultados. 8. Dos corpos flutuantes. (Livro I e II). - As bases científicas da hidrostática. 9. Do método relativo aos teoremas mecânicos. - Arquimedes aproxima-se extraordinariamente de nosso conceitos atuais de cálculo integral. 10. O Stomachion. - É um jogo geométrico, espécie de puzzle, formado por uma série de peças poligonais que completam um retângulo. 11. O problema dos bois. - Um problema referente a teoria dos números.

ARISTÓTELES

Aristóteles nasceu em Estagira, uma cidade da Macedônia, cerca de 320 quilômetros ao norte de Atenas no ano 384 a.C. e morreu no ano 322 a.C. Foi matemático, escritor, filósofo e biólogo. Autor do mais antigo conjunto de trabalhos científicos que resistiu fisicamente até nosso tempo e, também, considerado o homem mais erudito de todos os tempos. Filho de um físico amigo de Amyntas, rei macedônico e avô de Alexandre, inicialmente praticou medicina em Estagira antes de ir para Atenas, onde passou a estudar filosofia durante vinte anos como discípulo de Platão. Chegou a Atenas (367 a.C.) e, com a morte do mestre Platão, instalou-se em Asso, na Eólida, e depois em Lesbos, até ser chamado à corte de Filipe da Macedônia para encarregar-se da educação de seu filho ( 343 a. C.), que passaria à história como Alexandre o Grande que na época tinha treze anos de idade. Voltou a Atenas ( 337 a.C.) e, durante 13 anos seguintes, dedicou-se ao ensino e à elaboração da maior parte de suas obras. Infelizmente perderam-se todos os originais das obras publicadas por ele, com exceção da Constituição de Atenas, descoberta no fim do século XIX (1890). As obras conhecidas resultaram de notas para cursos e conferências do filósofo, ordenadas de início por alguns discípulos e depois, de forma mais sistemática, por Adronico de Rodes. Fundador, juntamente com Teofrasto e outros, do Liceu Aristotélico ( 334 a. C.), Escola Peripatética de Atenas, onde se ensinava a quase totalidade das ciências, notadamente biologia e ciências naturais. Embora a Matemática não fosse uma matéria prioritária de ensino no Liceu, promoveu discussões sobre o infinito potencial e a atual aritmética e geometria e escreveu sobre retas indivisíveis, onde questionava a doutrina dos indivisíveis defendida por Xenócrates, um sucessor de Platão na Academia. Se tornou o criador das doutrinas do aristotelismo, publicadas em oito volumes com escritos sobre física, matemática, biologia, metafísica, psicologia, política, lógica e ética, uma volumosa obra especulativa e não Matemática por excelência. Além deste tratado escreveu centenas de trabalhos (para alguns historiadores, mais de mil), sobre lógica (Categorias, Tópicos, Analítica, Proposições, etc.), trabalhos científicos (A física, Sobre o céu, Sobre a alma, Meteorologia, História natural, As partes dos animais, A geração dos animais, etc), sobre estética (Retórica e Poética) e por último os estritamente filosóficos (Ética, Política e Metafísica). Elaborou os primeiros argumentos sobre a teoria ondulatória de propagação da luz, que muito tempo depois prosseguiria com Da Vince e Galileu. Com a morte repentina de Alexandre, tornou-se impopular em virtude de sua ligação com conquistador morto. Tratado então como estrangeiro, deixou Atenas fugindo para Calsis, onde morreu no ano seguinte.

ALBERT EINSTEIN

Albert Einstein nasceu numa sexta-feira, dia 14 de março de 1879, em Ulm, uma próspera cidade ao sul da Alemanha. Ele foi o primeiro e único filho homem de Hermman Einstein e Pauline Koch. Já nos primeiros anos de sua vida, Einstein provocava comentários. Sua mãe estava convencida de que o formato de sua cabeça era fora do comum e temia que tivesse algum problema mental, porque era muito lento para aprender a falar. Passou sua juventude em Munique, onde sua família possuía uma pequena oficina destinada à construção de máquinas elétricas. Einstein não falou até os 3 anos de idade, mas desde jovem mostrou uma curiosidade brilhante sobre a Natureza, e uma habilidade para compreender conceitos matemáticos avançados. Com 12 anos de idade, aprendeu por conta própria a Geometria Euclideana. Albert cresceu forte e saudável, embora não gostasse de praticar esportes organizados. Era um garoto quieto e particularmente solitário, que preferia ler e ouvir música. Não gostava do regime monótono e do espírito sem imaginação da escola em Munique. Se considerasse os conselhos de um de seus professores teria abandonado a escola. Terminou a escola secundária em Arrau, Suíça, e com boas notas somente em Matemática, entrou, em 1896, no Instituto Politécnico de Zurique, onde se graduou em 1901 com dificuldades. Einstein não gostava dos métodos de instrução lá. Frequentemente não assistia às aulas, usando o tempo para estudar Física ou tocar seu adorado violino. Seus professores não o tinham como grande aluno e não o recomendariam para uma posição na Universidade. Por dois anos Einstein trabalhou como tutor e professor substituto. Em 1902, assegurou uma posição como examinador no Escritório de Patentes da Suíça em Bern. Em 1903, casou-se com Mileva Maric, que havia sido sua colega na Escola Politécnica. Em 1905, após ter conseguido um emprego no serviço federal de patentes que o deixava com horas vagas para estudar os problemas da física contemporânea, o mundo tomou conhecimento de sua existência através da publicação de cinco artigos nos Annalen der Physik, revista científica alemã. No mesmo ano recebeu seu grau de Doutor pela Universidade de Zurique por uma dissertação teórica a respeito das dimensões de moléculas, e também publicou 3 trabalhos teóricos de grande importância para o desenvolvimento da Fïsica do século 20. No primeiro desses trabalhos, sobre o Movimento Browniano, ele realizou previsões significantes sobre o movimento de partículas distribuídas aleatoriamente em um fluido. Tais previsões seriam confirmadas posteriormente, através de experiências. O segundo Trabalho, sobre o Efeito Fotoelétrico, continha uma hipótese revolucionária a respeito da natureza da luz. Einstein não somente propôs que sob certas circunstâncias pode-se considerar a luz feita de partículas, mas também a hipótese que a energia carregada por qualquer partícula de luz, chamada de fóton, é proporcional à frequência da radiação. Uma década mais tarde, o Físico americano Robert Andrews Millikan confirmou experimentalmente a teoria de Einstein. Einstein, cuja preocupação primordial é compreender a natureza da radiação eletromagnética, desenvolveu posteriormente uma teoria que seria uma fusão dos modelos de partícula e onda para a luz. Novamente, poucos cientistas compreendiam ou aceitavam suas idéias. A Teoria da Relatividade Especial O terceiro grande Trabalho de Einstein em 1905, "Sobre a Eletrodinâmica dos Corposem Movimento", continha o que tornou-se conhecido como a Teoria Especial da Relatividade. Desde a época do Matemático e Físico inglês Isaac Newton, os filósofos naturais (como os físicos e químicos eram conhecidos) tentavam compreender a natureza da matéria e da radiação e como elas interagiam. Não existia uma explicação consistente para o modo como a radiação (a luz, por exemplo) e a matéria interagiam quando vistas de referenciais inerciais diferentes, isto é, uma interação vista simultaneamente por um observador em repouso e um observador movendo-se com velocidade constante. No Outono de 1905, após considerar estes problemas por 10 anos, Einstein percebeu que o problema não se encontrava em uma teoria da matéria, mas em uma teoria relativa às medidas. Einstein desenvolveu, então, uma teoria baseada em dois postulados: o Princípio da Relatividade, que as leis físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais, e o Princípio da Invariância da velocidade da luz, onde a velocidade da luz no vácuo é uma constante universal. Assim, Einstein era capaz de dar uma descrição correta e consistente de eventos físicos em referenciais inerciais diferentes sem fazer suposições especiais sobre a natureza da matéria e da radiação, ou como elas interagiam. Virtualmente, ninguém compreendeu seus argumentos. Einstein e a Teoria da Relatividade Geral Mesmo antes de deixar o Escritório de Patentes em 1907, começara o trabalho de extender e generalizar o teoria da relatividade para todos os referenciais. Ele iniciou enunciando o Princípio da Equivalência, um postulado que campos gravitacionais são equivalentes à acelerações de referênciais. Por exemplo, uma pessoa em um elevador em movimento não pode, em princípio, decidir se a força que atua sobre ela é causada pela gravidade ou pela aceleração constante do elevador. A Teoria da Relatividade Geral completa não foi publicada até 1916. Nesta teoria, as interações de corpos que até então haviam sido atribuídas às forças gravitacionais, são explicadas como a influência dos corpos sobre a geometria do espaço-tempo (espaço quadridimensional, uma abstração matemática, tendo as três dimensões do espaço Euclideano e o tempo como a quarta dimensão). Baseado em sua Teoria da Relatividade Geral, Einstein explicou as previamente inexplicáveis variações no movimento orbital dos planetas, e previu a inclinação da luz de estrelas na vizinhança de um corpo maciço, como o Sol. A confirmação deste último fenômeno durante um eclipse em 1919 tornou-se um grande evento, tornando Einstein famoso no mundo inteiro. Pelo resto de sua vida, Einstein devotou tempo considerável para generalizar ainda mais esta Teoria. Seu último esforço, a Teoria do Campo Unificado, que não foi inteiramente um sucesso, foi uma tentativa de compreender todas as interações físicas - incluíndo as interações eletromagnéticas e as interações forte e fraca - em termos da modificação da geometria do espaço-tempo entre as entidades interagentes. Entre 1915 e 1930 a grande preocupação da Física estava no desenvolvimento de uma nova concepção do caráter fundamental da matéria, conhecida como Teoria Quântica. Esta teoria continha a característica da dualidade partícula-onda (a luz exibe propriedades de partícula, assim como de onda), assim como o Princípio da Incerteza, que estabelece que a precisão nos processos de medidas é limitada. Einstein, entretanto, não aceitaria tais noções e criticou seu desenvolvimento até o final da sua vida. Disse Einstein uma vez: "Deus não joga dados com o mundo". Durante a I Guerra Mundial, com cidadania suíça, ele trabalhou na generalização de sua teoria para os sistemas acelerados. Elaborou então, uma nova teoria da gravitação em que a clássica teoria de Newton assume papel particular. Einstein, com o passar dos anos, continua a não aceitar completamente diversas teorias. Por exemplo, Einstein não aceitava o princípio de Heisenberg que o universo estivesse abandonado ao acaso. "Deus pode ser perspicaz, mas não é malicioso.", disse ele sobre este princípio que destruía o determinismo que estava ancorada a ciência desde a Grécia Antiga. O Nobel Einstein, o Cidadão do Mundo Após 1919, Einstein tornou-se internacionalmente reconhecido. Ganhou o Prêmio Nobel de Física em 1921 pelo seu estudo do campo fotoelétrico, e não pela teoria da relatividade, ainda controvertida. Sua visita a qualquer parte do mundo tornava-se um evento nacional; fotógrafos e repórteres o seguiam em qualquer lugar. O Homem Político Einstein aceitou uma cátedra no Institute for Advance Study, em Princeton, Estados Unidos e, em 1940, adquiriu cidadania americana após o surgimento da II Guerra Mundial, em 1939. Einstein sempre assumiu posições públicas sobre os grandes problemas de sua época, fosse a respeito da existência do Estado de Israel, da União Soviética, da luta contra o nazismo, ou, após a II Guerra Mundial, contra a fabricação de armas nucleares. Einstein entregou uma carta ao presidente americano advertindo-o da possibilidade de os alemães fabricarem sua própria bomba, no entanto, a carta levou os EUA a fabricarem a sua. Num último apelo, Einstein escreveu ao presidente Theodore Roosevelt, que morreu sem ao menos ler a carta. Truman, seu sucessor, ignorou-a e lançou a bomba atômica em Hiroshima e, três dias depois, em Nagasaki, no Japão. Em 1922, Einstein tornou-se membro do Comitê de Cooperação Intelectual da Liga das Nações. Em 1925, juntamente com o líder dos direitos civis indianos Mahatma Gandhi, trabalhou numa campanha pela abolição do serviço militar obrigatório. E, em 1930, Einstein colocou novamente seu nome em outro importante manifesto internacional, desta vez organizado pela Liga Internacional da Mulher pela Paz e Liberdade. Pedia o desarmamento internacional como sendo a melhor maneira de assegurar uma contínua paz. Envolveu-se ainda em várias causas sociais. Em 1925, Albert Einstein veio ao Brasil. Esteve no Rio de Janeiro, em visita a instituições científicas e culturais. Proferiu duas conferências: na Academia Brasileira de Ciências e no Instituto de Engenharia do Rio de Janeiro. Quando Adolf Hitler começou seu governo na Alemanha, Einstein decidiu deixar a Alemanha imediatamente. Foi para os Estados Unidos e ocupou uma posição no Instituto para Estudos Avançados em Princeton, New Jersey. Quando a morte de Einstein foi anunciada em 1955, a notícia apareceu nas primeiras páginas dos jornais de todo o mundo: "Morreu um dos maiores homens do século 20".

AL-KHWARIZMI

Abu Abdullah Mohammed ben Musa Al-Khwarizmi foi um matemático árabe que nasceu em torno de 780 e morreu por volta do ano 850. Sabe-se pouco sobre sua vida. Há indícios de que ele, ou a sua família, era originário de Khowarezm, a região a sul do mar Aral, na altura parte da Pérsia ocupada pelo Árabes (atualmente parte do Uzbequistão). Foi um dos primeiros matemáticos a trabalhar na Casa da Sabedoria, em Baghdad, durante o reinado do califa al-Mamum (813-833). Al-Khwarizmi escreveu tratados sobre aritmética, álgebra, astronomia, geografia e sobre o calendário. É possível que tenha escrito um tratado sobre o astrolábio e outro sobre relógios de sol, mas estes dois últimos não chegaram aos nossos dias. Tanto o tratado sobre a aritmética como o sobre a álgebra constituíram o ponto de partida para trabalhos posteriores e exerceram uma forte influência no desenvolvimento da matemática, principalmente da aritmética e da álgebra. A versão original do pequeno tratado de aritmética de Al-Khwarizmi encontra-se perdida, mas este chegou a Espanha e existem traduções, do século XII, para latim. No seu texto al-Khwarizmi introduz os nove símbolos indianos para representar os algarismos e um círculo para representar o zero. Depois explica como escrever um número no sistema decimal de posição utilizando os 10 símbolos. Descreve as operações de cálculo (adição, subtração, divisão e a multiplicação) segundo o método indiano e explica a extração da raiz quadrada. Depois do cálculo com números inteiros, aborda o cálculo com frações (expressando-as como a soma de frações unitárias). De acordo com Youschkevitch, existem três textos, em latim, do século XII, que podem ser traduções do tratado de aritmética de al-Khwarizmi. O Liber Algorismi de pratica arismetrice (o Livro de Algorismi sobre a aritmética prática), escrito por João de Sevilha (ou de Todelo), um judeu espanhol convertido ao catolicismo que trabalhou em Todelo de 1135 a 1153. O Liber Ysagogarum Alchorismi in artem astronomicam (Introdução de Algorismi sobre a arte da astronomia), do qual se conhecem várias cópias, uma datada de 1143. Não se sabe quem terá sido o seu autor se o inglês Adelardus de Bada, ou Bath (que pertencia à escola de Toledo), ou de Robert de Cherter, também inglês. Youschkevitch, refere, ainda, uma outra tradução, do século XIII, sem título, que se encontra na Biblioteca da Universidade de Cambridge, publicada por Boncompagni, em 1857, com o título Algoritmi de numero indorum e que inicia com as palavras Dixit Algorismi (ou seja, Algorismi disse). A palavra algorismi é portanto a versão latina do nome al-Khwarizmi e que derivou na palavra algoritmo. O tratado de álgebra escrito por Al-Khwarizmi data de cerca de 830 e tem o título Hisab al-jabr w'al-muqabala, uma possível tradução seria o cálculo por completação (ou restauração) e redução. Al-jabr é a operação que consiste em adicionar termos iguais a ambos os membros da equação de forma a eliminar os termos com coeficiente negativo e al-muqabala a operação que se faz de seguida e que consiste em adicionar os termos semelhantes. Al-Khwarizmi diz-nos, na introdução da sua álgebra, com o título, que o califa al-Mamum o encorajou a escrever um pequeno trabalho sobre o cálculo pelas regras de completação e redução, confinando-o ao que é mais simples e mais útil na aritmética, tais como as que os homens constantemente necessitam no caso das heranças, partilhas, processos judiciais, e comércio, e em todas os seus negócios com outros, ou quando a medição de terras, a escavação de canais, cálculos geométricos, e outros coisas de várias espécies e tipos estão envolvidos. O seu livro é composto por três partes. A primeira sobre a álgebra, que precede um breve capítulo sobre os transações comerciais; a segunda sobre a geometria e a terceira parte sobre as questões de heranças. No seu livro Al-Khwarizmi não usa qualquer símbolo, nem sequer os símbolos que descreverá posteriormente na sua aritmética. O livro foi, também, traduzido para latim, no século XII, mas essas traduções não incluíam a segunda e a terceira partes. Robert de Chester, na sua tradução para latim, de 1140, traduz o tratado de álgebra de al-Khwarizmi com título Liber algebrae et almucabala, portanto álgebra deriva da tradução latina de al-jarb.

O PROBLEMA DAS ABELHAS

Afirma Maeterlinck, no seu famoso livro sobre as abelhas,que esses animais, na construção de seus alvéolos, resolvem um problema de alta matemática. Há nessa asserção certo exagero do escritor belga: o problema que as abelhas resolvem pode ser abordado, sem grande dificuldade, com os recursos da Matemática elementar. Não nos importa, porém, saber se o problema é elementar ou transcendente; a verdade é que esses pequeninos e laboriosos insetos resolvem um interessantíssimo problema por um artifício que chega a deslumbrar a inteligência humana. Todos sabem que a abelha constrói os seus alvéolos para neles depositar o mel que fabrica. Esses alvéolos são feitos de cera.A abelha procura, portanto, obter uma forma de alvéolos que seja a mais econômica possível, isto é, que apresente maior volume para a menor porção de material empregado. É preciso que a parede de um alvéolo sirva, também, ao alvéolo vizinho. Logo, o alvéolo não pode ter forma cilíndrica, pois do contrário cada parede só serviria a um alvéolo. Procuraram as abelhas uma forma prismática para os seus alvéolos. Os únicos prismas regulares que podem ser justapostos sem deixar interstício são: o triangular, o quadrangular e o hexagonal. Foi este último que as abelhas escolheram. E sabem por quê? Porque dos três prismas regulares A, B e C construídos com porção igual de cera, o prisma hexagonal é o que apresenta maior volume. Eis o problema resolvido pelas abelhas: Dados três prismas regulares da mesma altura A (triangular), B (quadrangular), C (hexagonal), tendo a mesma área lateral, qual é o que tem maior volume? Uma vez determinada a forma dos alvéolos, era preciso fechá-los, isto é, determinar o meio mais econômico de cobrir os alvéolos. A forma adotada foi a seguinte: o fundo de cada alvéolo é constituído de três losangos iguais. Maraldi, astrônomo do Observatório de Paris, determinou, experimentalmente, com absoluta precisão, os ângulos desse losango e achou 109°28', para o ângulo obtuso, e 70°32', para o ângulo agudo. O físico Réaumur, supondo que as abelhas eram guiadas, na construção dos alvéolos por um princípio de economia, propôs ao geômetra alemão Koening, em 1739, o seguinte problema: Entre todas as células hexagonais, com o fundo formado de três losangos, determinar a que seja construída com a maior economia de material. Koening, que não conhecia os resultados obtidos por Maraldi, achou que os ângulos do losango do alvéolo matematicamente mais econômico deviam ser 109°26' para o ângulo obtuso e 70°34' para o ângulo agudo. A concordância entre as medidas feitas por Maraldi e os resultados calculados por Koening era espantosa. Os geômetras concluíram que as abelhas cometiam, na construção dos seus alvéolos, um erro de 2' no ângulo do losango de fechamento.15 Concluíram os homens de ciência que as abelhas erravam, mas entre o alvéolo que construíam e o alvéolo matematicamente certo havia uma diferença extremamente pequena. Fato curioso! Alguns anos depois (1743), o geômetra Mac Laurin retomou novamente o problema e demonstrou que Koening havia errado e que o resultado era traduzido precisamente pelos valores dos ângulos dados por Maraldi — 109°28' e 70°32'. A razão estava, pois, com as abelhas. O matemático Koening é que havia errado!!! Abelhinhas sabidas!!! A seleçao natural de Darwin poderia explicar como as abelhas chegaram a esta solução....

PRECOCIDADE

Blaise Pascal, aos 16 anos de idade, escreveu um tratado sobre as cônicas, considerado como um dos fundamentos da Geometria moderna. Evaristo Galois, aos 15 anos, discutia e comentava as obrasde Legendre e Lagrange. Alexis Clairaut achava-se, aos dez anos, apto a ler e compreender as obras do marquês de 1'Opitar sobre cálculo. Joseph Bertrand, aos 11 anos, iniciava o curso na escola Politécnica, e aos 17 recebia o grau de doutor. Nicolas Henri Abel, norueguês, filho de um pastor protestante, aos 16 anos de idade fazia investigações sobre o problemade resolução da equação do quinto grau. Morreu com 26 anos. De Gauss vejam post anterior.

O PROBLEMA DOS ABACAXIS

Dois camponeses, A e B, encarregaram um feirante de vender duas partidas de abacaxis. O camponês A entregou 30 abacaxis, que deviam ser vendidos à razão de 3 por R$1,00; B entregou, também, 30 abacaxis para os quais estipulou preço um pouco mais caro, isto é, à razão de 2 por R$1,00. Era claro que, efetuada a venda, o camponês A devia receber R$10,00 e o camponês B, R$15,00. O total da venda seria, portanto, de R$25,00. Ao chegar, porém, à feira, o encarregado sentiu-se em dúvida. — Se eu começar a venda pelos abacaxis mais caros, pensou, perco a freguesia; se inicio o negócio pelos mais baratos, encontrarei, depois, dificuldade para vender os outros. O melhor que tenho a fazer é vender as duas partidas ao mesmo tempo. Chegado a essa conclusão, o atilado feirante reuniu os 60 abacaxis e começou a vendê-los aos grupos de 5 por R$2,00. O negócio era justificado por um raciocínio muito simples: — Se eu devia vender 3 por R$1,00 e depois 2 também, por R$1,00, será mais simples vender, logo, 5 por R$2,00, isto é, à razão de 40 centavos cada um. Vendidos os 60 abacaxis, o feirante apurou R$24,00. Como pagar os dois camponeses se o primeiro devia receber R$10,00 e o segundo R$15,00? Havia uma diferença de R$1,00 que o homenzinho não sabia como explicar, pois tinha feito o negócio com o máximo cuidado. E, intrigadíssimo com o caso, repetia dezenas de vezes o raciocínio feito sem descobrir a razão da diferença!!!

MATEMÁTICOS FEITICEIROS

Conta-nos Rebière que o czar Ivan IV, apelidado o Terrível, propôs, certa vez, um problema a um geômetra de sua corte. Tratava-se de determinar quantos tijolos seriam necessários à construção de um edifício regular, cujas dimensões eram indicadas. A resposta foi rápida e a construção feita veio, mais tarde,demonstrar a exatidão dos cálculos. Ivan, impressionado com esse fato, mandou queimar o matemático, persuadido de que, assim procedendo, livrava o povo russo de um feiticeiro perigoso. François Viète — o fundador da Álgebra Moderna — foi também acusado de cultivar a feitiçaria. Eis como os historiadores narram esse curioso episódio: "Durante as guerras civis na França, os espanhóis serviam-se, para correspondência secreta, de um código em que figuravam cerca de 600 símbolos diferentes, periodicamente permutados segundo certa regra que só os súditos mais íntimos de Filipe II conheciam. Tendo sido, porém, interceptado um despacho secreto da Espanha, Henrique IV, rei da França, resolveu entregara sua decifração ao gênio maravilhoso de Viète. E o geômetra não só decifrou o documento apreendido como descobriu a palavra escrita no código espanhol. E dessa descoberta os franceses se utilizaram, com incalculável vantagem, durante dois anos.Quando Filipe II soube que seus inimigos haviam descoberto o segredo do código tido até então como indecifrável, foi presa de grande espanto e rancor, apressando-se em levar ao papa Gregório XIII a denúncia de que os franceses, "contrariamente à pratica da fé cristã", recorriam aos sortilégios diabólicos da feitiçaria, denúncia a que o sumo pontífice não deu a mínima atenção.Não deixa, porém de ser curioso o fato de ter sido Viète — por causa de seu talento matemático — incluído entre os magos e feiticeiros de seu tempo.

Matemática Babilônica

Matemática Babilônica (também conhecido como Matemática Assírio-Babilônica) se refere a qualquer forma de matemática desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia, desde os dias dos antigos Sumérios até a queda da Babilônia em 539 a.C. Os textos matemáticos da Mesopotamia são abundantes e bem documentados. Em respeito a ordem cronológica eles são dividos em dois grupos: uma da Primeira Dinástia Babilônica (1830-1531 a.C), e a segunda principalmente vai até o período do Império Selêucida nos últimos três ou quatro séculos a.C. Em relação ao contêudo, há apenas pequenas diferenças entre os dois grupos de textos. Assim a matemática Babilônica se mantem constante, em seu contêudo por cerca de dois milenios. Em contraste com a escassez de fontes da Matemática Egipcía, o conhecimento sobre a matemática Babilônica é derivado de 400 tabúas de argila, desenterrados desde meados do séc XIX. Escritos em línguagem cuneiforme, as tabúas eram escritas quando a argila ainda estava úmida, e depois cozinhadas em fornos ou sob o calor do sol. A maioria das tabúas de argila datam de 1800 até 1600 a.C, e cobre tópicos a quais incluem frações, álgebra, equações quadráticas e equações cúbicas além do teorema de Pitágoras.

A matemática na pré-história

A origem do pensamento matemático jaz nos conceitos de número, magnitude e forma10 . Estudos modernos da cognição animal mostraram que tais conceitos não são unicamente humanos. Eles teriam sido parte da vida cotidiana de sociedades de indivíduos caçadores-coletores. Ademais, que o conceito de número tenha se desenvolvido paulatinamente ao longo do tempo, isto fica evidente com o fato de que algumas línguas atuais preservam a distinção entre "um", "dois" e "muitos", mas não em relação a números maiores do que dois10 . O objeto matemático reconhecido como possivelmente o mais antigo é o osso de Lebombo, descoberto nos montes Libombos, na Suazilândia, e datado de aproximadamente 35000 anos a.C11 12 . Tal osso consiste em 29 entalhes feitos em uma fíbula (ou perônio) de um babuíno13 14 . Também foram descobertos artefatos pré-históricos na África e na França, datados de entre 35000 e 20000 anos atrás15 , os quais sugerem tentativas arcaicas de quantificação do tempo16 . No livro How Mathematics Happened: The First 50,000 Years (sem versão em português), por exemplo, Peter Rudman argumenta que o desenvolvimento do conceito de números primos apenas pôde ter surgido depois do conceito de divisão, a qual é por ele datada de após 10000 a.C., sendo que os números primos provavelmente não eram entendidos até em torno de 500 a.C. Ele também escreve que "não foi feita nenhuma tentativa de explicar por que razão uma talha de alguma coisa deve apresentar múltiplos de dois, números primos entre 10 e 20 e alguns números que são quase múltiplos de 10."17 . O osso de Ishango, descoberto perto das cabeceiras do rio Nilo, pode possuir algo como 20000 anos de existência e consiste em uma série de talhas marcadas em três colunas ao longo do comprimento do osso. As interpretações mais habituais a respeito de tal osso dizem que ele mostra ou a mais antiga demonstração conhecida de sequências de números primos14 ou então um calendário lunar de seis meses18 . Há também egípcios do período pré-dinástico do quinto milênio a.C. que representaram pictoricamente as figuras geométricas. Além disso, reivindica-se que os monumentos megalíticos presentes na Inglaterra e na Escócia, datados do terceiro milênio a.C., incorporam em suas formas ideias tais como a de círculo, a de elipse e os triplos pitagóricos

História da Matemática

A história da matemática é uma área de estudo dedicada à investigação sobre a origem das descobertas da matemática e, em uma menor extensão, à investigação dos métodos matemáticos e aos registros ou notações matemáticas do passado. Anteriormente à modernidade e à expansão mundial do conhecimento, os exemplos escritos de novos progressos matemáticos tornaram-se conhecidos em apenas poucas localidades. Os textos matemáticos mais arcaicos disponíveis que nos são conhecidos são o Plimpton 322 (matemática babilônica, cerca de 1900 a.C.)1 , o Papiro Matemático de Rhind (matemática egípcia, cerca de 2000-1800 a.C.)2 e o Papiro Matemático de Moscou (matemática egípcia, cerca de 1890 a.C.). Todos estes textos versam sobre o então chamado Teorema de Pitágoras, que parece ser o progresso matemático mais amplamente difundido depois da aritmética básica e da geometria. A contribuição greco-helênica refinou grandiosamente os métodos (especialmente através da introdução do raciocínio dedutivo e do rigor matemático em provas) e expandiu o tema da matemática, isto é, aquilo de que ela trata3 . O estudo da matemática como um tópico em si mesmo começa no século VI a.C. com os pitagóricos, os quais cunharam o termo "matemática" a partir do termo μάθημα (mathema) do grego antigo, significando, então, "tema do esclarecimento"4 . A matemática chinesa fez contribuições já muito cedo, incluindo o sistema de notação posicional5 6 . O sistema númerico indo-arábico e as regras para o uso de suas operações, atualmente em uso no mundo todo, foi provavelmente desenvolvido em torno do ano 1000 d.C. na Índia e transmitido ao Ocidente através da matemática islâmica7 8 . A matemática islâmica, por sua vez, desenvolveu e expandiu a matemática conhecida destas civilizações9 . Muitos textos gregos e árabes sobre matemática foram então traduzidos ao latim, o que contribuiu com o desenvolvimento da matemática na Europa medieval. Dos tempos antigos à Idade Média, a eclosão da criatividade matemática foi frequentemente seguida por séculos de estagnação. Começando no Renascimento, no século XVI, novos progressos da matemática, interagindo com as novas descobertas científicas, foram realizados de forma crescente, continuando assim até os dias de hoje.

O homem que calculava - o pagamento de 8 pães com 8 moedas.

Numa antiga aldeia nos arredores de Bagdá, Beremiz e seu companheiro de viagem encontraram um pobre viajante, roto e ferido. Socorreram o infeliz e tomaram conhecimento de sua desgraça: era um bem-sucedido mercador de Bagdá que viajava numa caravana que tinha sido atacada por nômades do deserto. Todos os seus companheiros tinham perecido e ele, milagrosamente, tinha conseguido escapar ao se fingir de morto. Ao concluir sua narrativa, pediu alguma coisa para comer, pois estava quase a morrer de fome. Beremiz tinha 5 pães e seu companheiro, 3 pães. O mercador fez a proposta de compartilhar esses pães entre eles e que, quando chegasse a Bagdá, pagaria 8 moedas de ouro pelo pão que comesse. Assim fizeram. No dia seguinte, ao cair da tarde, chegaram na célebre cidade de Bagdá, a pérola do Oriente. Como tinha prometido, o mercador quis entregar 5 moedas a Beremiz e 3 a seu companheiro. Com grande surpresa, recebeu a seguinte resposta: – Perdão, meu senhor. A divisão, feita desse modo, pode ser muito simples, mas não é matematicamente correta. Se eu dei 5 pães devo receber 7 moedas; o meu companheiro, que deu 3 pães, deve receber apenas uma moeda. Pelo nome de Maomé! Retrucou o mercador. – Como justificar, ó estrangeiro, tão disparatada forma de pagar 8 pães com 8 moedas? Se contribuíste com 5 pães, por que exiges 7 moedas? Se o teu amigo contribuiu com 3 pães, por que afirmas que ele deve receber uma única moeda? O Homem que Calculava aproximou-se do mercador e falou: – Vou provar-vos, ó senhor, que a divisão das 8 moedas, pela forma por mim proposta, é matematicamente correta. Quando, durante a viagem, tínhamos fome, eu tirava um pão da caixa em que estavam guardados e repartia-o em três pedaços. Se eu dei 5 pães, dei, é claro, 15 pedaços; se o meu companheiro deu 3 pães, contribuiu com 9 pedaços. Houve, assim, um total de 24 pedaços, cabendo portanto, 8 pedaços para cada um. Dos 15 pedaços que dei, comi 8; dei na realidade 7; o meu companheiro deu, como disse, 9 pedaços e comeu, também, 8; logo deu apenas um. Os 7 pedaços que eu dei e o que ele forneceu formaram os 8 pedaços que couberam a você, mercador. Maravilhado, o mercador reconheceu que era lógica, perfeita e irrefutável a demonstração apresentada pelo matemático Beremiz e imediatamente se dispôs a pagar da forma que tinha sido defendida. – Esta divisão – retorquiu o calculista – de sete moedas para mim e uma para meu amigo, conforme provei, é matematicamente correta, mas não é perfeita de acordo com meus princípios éticos. E tomando as moedas do mercador, dividiu-as em duas partes iguais. Deu para seu companheiro quatro moedas, guardando para si as quatro restantes.

A divisão dos 35 camelos.

As frações têm servido de inspiração para muitos problemas que são verdadeiros quebra-cabeças para os alunos e, às vezes, para os professores também. A maioria desses problemas apenas prejudica o aprendizado das crianças, causando confusão e frustração. No entanto, há também problemas criados com tanta engenhosidade que se tornam encantadores e surpreendentes. Esses podem ser apreciados por alunos mais velhos, provavelmente após a 6a. série. Vamos apresentar um desses problemas. Ele tem uma história e esta tem um herói: um fictício matemático árabe chamado Beremiz Samir. Tudo se passa na época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, por volta do século X. Nosso herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo acaloradamente. Eram três irmãos. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança: O mais velho receberia a metade. Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo! O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 dividido por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais de camelo! O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e de camelo! Naturalmente, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro. Mas o sábio Beremiz resolveu o problema. Vejamos o que ele propôs: - Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe. Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil: . o mais velho recebe: de 36 = 18 . o irmão do meio recebe: de 36 = 12 . o caçula recebe: de 36 = 4 Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes. Todos saem lucrando. Todos lucraram? E nosso herói Beremiz que perdeu um camelo? Ouçamos de novo nosso matemático: - O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra, fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema de herança. Veja, colega, que intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é possível? De onde surgiu o camelo "a mais"?

TOP 10: Os matemáticos mais importantes da história

10- RENÉ DESCARTES NACIONALIDADE Francês GRANDE FEITO Criou a geometria analítica no século 17 Responsável por representar os números naquele gráfico com eixos x e y, batizado de cartesiano em sua homenagem. A geometria analítica revolucionou a matemática, tornando mais fácil "enxergar" relações entre números e compreender conceitos abstratos. Descartes morreu de pneumonia no castelo da rainha Cristina da Suécia, que o contratou como professor de filosofia. 9- HENRI POINCARÉ NACIONALIDADE Francês GRANDE FEITO Inventou a topologia algébrica no século 19 A partir dele, passou-se a classificar sólidos imaginários como cubos, esferas e cones por meio de teoremas. Com a topologia algébrica, é possível demonstrar, por exemplo, como uma caneca é a deformação da metade de um aro - seja lá o que isso quer dizer... A conjectura (hipótese não comprovada) que ele propôs em 1904 só foi resolvida em 2006. 8- EUCLIDES NACIONALIDADE Grego GRANDE FEITO Fundamentou a geometria no século 3 a.C. Seu livro Elementos, com os fundamentos da geometria clássica, ainda é leitura obrigatória entre os matemáticos. Na obra de 23 séculos atrás estão compilados seus axiomas - verdades lógicas que valem até hoje. Um exemplo de axioma é "pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos". A obra- prima de Euclides é o segundo livro mais traduzido da história, atrás apenas da Bíblia. 7- AL-KHWARIZMI NACIONALIDADE Persa GRANDE FEITO Criou bases teóricas para a álgebra moderna no século 8 Ele fundamentou a matemática ocidental. Sua obra descreve métodos para resolver equações lineares e quadráticas, como ensinam na escola até hoje. O italiano Fibonacci levou os ensinamentos de Khwarizmi para a Europa, propagando o uso de numerais arábicos e dos algarismos de 0 a 9 para representá-los. 6- ARQUIMEDES NACIONALIDADE Grego GRANDE FEITO Aplicou a geometria na prática no século 3 a.C. O principal matemático da Antiguidade uniu o mundo abstrato dos números com o mundo real. É considerado pai da mecânica por estudar forças, alavancas e densidade de materiais. Foi o primeiro a notar a relação constante entre o diâmetro e o raio de qualquer circunferência: o número π (pi). Arquimedes também era inventor. Entre seus trabalhos estão o parafuso de Arquimedes, usado para tirar água de dentro de navios, e o aperfeiçoamento da catapulta. 5- ISAAC NEWTON NACIONALIDADE Inglês GRANDE FEITO Criou o cálculo no século 17 Responsável por avanços científicos que mudaram a humanidade, como a lei da gravitação universal, Newton também era um matemático notável, considerado um dos inventores do cálculo - disciplina avançada da matemática, ensinada em cursos superiores específicos. Sem o cálculo seria impossível medir precisamente o volume de objetos curvos ou calcular a velocidade de objetos em aceleração. 4- GOTTFRIED LEIBNIZ NACIONALIDADE Alemão GRANDE FEITO Criou o cálculo no século 17 Não era popular como Newton, mas quem o conheceu compara seu gênio ao de Da Vinci. Leibniz aprofundou o conceito de grandezas infinitesimais, ou seja, infinitamente pequenas - que pelo nome podem até não parecer, mas são muito relevantes na matemática. Newton acusou Leibniz de plágio, mas ficou comprovado que ambos desenvolveram estudos sobre o cálculo ao mesmo tempo, chegando às mesmas conclusões 3- ÉVARISTE GALOIS NACIONALIDADE Francês GRANDE FEITO Criou as estruturas algébricas no século 19 Rebelde e genial, é o único grande matemático cuja obra não tem erros, talvez por ser muito curta. Seu principal trabalho foi em polinômios e estruturas algébricas, o que o levou a solucionar problemas matemáticos em aberto desde a Antiguidade. Especialistas acreditam que se não tivesse morrido aos 21 anos - em um duelo -, seria o número um da nossa lista. 2- CARL GAUSS NACIONALIDADE Alemão GRANDE FEITO Mais completo matemático da primeira metade do século 19 O "príncipe dos matemáticos" publicou, aos 21 anos, sua obra-prima sobre teoria dos números. Morreu aos 77 anos como o maior generalista da matemática, contribuindo em áreas como estatística, análise, geometria diferencial e geodésia, para citar poucas. A extinta nota de dez marcos alemã trazia um retrato do matemático com uma de suas "invenções": a curva de Gauss, que sempre aparece em gráficos estatísticos. 1- LEONHARD EULER NACIONALIDADE Suíço GRANDE FEITO Revolucionou quase toda a matemática no século 18 Seus quase 800 livros fundamentaram campos que seriam estudados futuramente, como topologia, e revolucionou quase todos os que já estavam em voga, como cálculo e funções. Ao solucionar um problema que envolvia sete pontes que ligavam duas ilhas na cidade de Königsberg, antiga Prússia, fundou a teoria dos grafos, que possibilitou o surgimento da topologia e é usada hoje, por exemplo, para montar as tabelas do Campeonato Brasileiro! Euler ficou cego aos 50 anos e passou a ditar seus textos ao filho. Muitos matemáticos avaliam que seu trabalho ficou mais rico após perder a visão. - O matemático francês François Arago declarou que Euler calculava sem esforço, "como os homens respiram e as águias mantêm-se no ar" CONSULTORIA Sérgio Roberto Nobre, professor e coordenador do Grupo de Pesquisa da História da Matemática do departamento de Matemática da Unesp (Rio Claro) FONTES www.math-atlas.org; www.shsu.edu; www.guardian.co.uk; www.sci.hkbu.edu.hk

Poema Matematico do Millor

Poesia Matemática Millôr Fernandes Às folhas tantas do livro matemático um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base uma figura ímpar; olhos rombóides, boca trapezóide, corpo retangular, seios esferóides. Fez de sua uma vida paralela à dela até que se encontraram no infinito. "Quem és tu?", indagou ele em ânsia radical. "Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa." E de falarem descobriram que eram (o que em aritmética corresponde a almas irmãs) primos entre si. E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos e linhas sinoidais nos jardins da quarta dimensão. Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana e os exegetas do Universo Finito. Romperam convenções newtonianas e pitagóricas. E enfim resolveram se casar constituir um lar, mais que um lar, um perpendicular. Convidaram para padrinhos o Poliedro e a Bissetriz. E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro sonhando com uma felicidade integral e diferencial. E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos. E foram felizes até aquele dia em que tudo vira afinal monotonia. Foi então que surgiu O Máximo Divisor Comum freqüentador de círculos concêntricos, viciosos. Ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum. Ele, Quociente, percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade. Era o triângulo, tanto chamado amoroso. Desse problema ela era uma fração, a mais ordinária. Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade e tudo que era espúrio passou a ser moralidade como aliás em qualquer sociedade. Texto extraído do livro "Tempo e Contratempo", Edições O Cruzeiro - Rio de Janeiro, 1954, pág. sem número, publicado com o pseudônimo de Vão Gogo.

Curiosidade Com Números De Três Algarismos

Escolha qualquer número de três algarismos. Por exemplo: 234 Agora escreva este número na frente dele mesmo, assim: 234234 Agora divida por 13: 234234 :13 = 18018 Agora divida o resultado por 11: 18018 : 11 = 1638 Divida novamente o resultado, agora por 7: 1638 : 7 = 234 Viu só? O resultado é o numero de três algarismos que você escolheu: 234. Pode experimentar com qualquer outro número de três algarismos. O resultado será sempre o mesmo.

O que é isso companheiro?

candidato, após as eleições de 3 de outubro, afixou faixa de agradecimento a seus eleitores onde se lia: Certo candidato, dizem que do PT, afixou uma faixa com os dizeres: "Obrigado pelos 13.256 votos" Você pode não ter percebido, mas, o número de votos do referido candidato é bastante interessante. Veja só: Primeiro separe o número em duas partes: 13 e 256. Agora some os algarismos de 256: 2 + 5 + 6 = 13 ! Mas, não é só isso, não... Tome o número 13 e eleve-o ao quadrado: 13² = 13 x 13 = 169. Agora, some os algarismos de 169: 1 + 6 + 9 = 16 Finalmente, eleve 16 ao quadrado : 16² = 16 x 16 = 256 !!! Percebeu? coisa de companheiros.

Frases de Grandes Matemáticos

Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito. (Fenelon) Os números governam o mundo. (Platão) A Matemática é a honra do espírito humano. (Leibniz) O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos. (Galileu) Ao longo do tempo muitos homens conseguiram atingir o êxtase da criação. A estes homens dá-se o nome de MATEMÁTICOS.

Qual é a sua idade?

Pense num número de 1 à 7. Com a ajuda desse número secreto, vamos fazer cinco operações. Vamos obter algo de muito revelador sobre si. - Multiplique esse número por 2; - Adicione 2; - Multiplique o resultado por 50; - Se a data do seu aniversário já passou este ano, some 13. Senão, some 12; - Subtraia o ano de seu nascimento (por exemplo, se nasceu em 1990, tem de subtrair 90); O resultado é um número com três algarismos. O primeiro é o número que pensou e os dois últimos são... a sua idade! Autor: Professor Albrecht Beutelspacher. Nota: Esta astúcia é válida para o ano de 2013. Para 2014, tem de adicionar uma unidade nos números referidos no ponto . Para 2015, duas unidades e assim sucessivamente.

Curiosidade sobre a formação dos algarismos

Já reparaste que todos os algarismos se podem escrever usando apenas dois deles, o 4 e o 8?

142857 - Outro número fabuloso!!

Este número, multiplicado por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 ou 9, tem como resultado outro número cujos algarismos estão na mesma ordem do original. Mas se o resultado tiver 7 algarismos ao invés de 6, basta somar o primeiro com o último número para se obter novamente a seqüência. Veja: 142857 x 5 = 714285 142857 x 8 = 1142856, somando os extremos (1 + 6) = 7 -> 714285 O melhor de tudo é que você não precisa pegar o 142857, pode pegar qualquer número com os 6 algarismos nessa sequencia, que todos eles têm essa propriedade. Veja: 428571 x 2 = 857142 285714 x 3 = 857142 285714 x 9 = 2571426, somando os extremos (2 + 6) = 8 -> 857142 E se você multiplicar qualquer desses números que têm esses algarismos nessa sequência por 7 ou por um múltiplo de 7, você encontrará uma seqüência de 9. E novamente se houverem mais de 6 algarismos, quase todos serão 9, os que não forem, somados darão 9. Veja: 857142 x 7 = 5999994 (5 + 4 = 9) 571428 x 49 = 27999972 (2 + 7 = 9) 714285 x 14 = 9999990 (9 + 0 = 9)

O fabuloso número 12345679

Se multiplicarmos o número 12345679 por qualquer múltiplo de 9, entre 9 e 81, iremos obter um produto cujo algarismo que se repete é o próprio multiplicador dividido por 9. 12345679 x 9 = 111.111.111 (9 / 9 = 1) 12345679 x 18 = 222.222.222 (18 / 9 = 2) 12345679 x 27 = 333.333.333 (27 / 9 = 3) 12345679 x 36 = 444.444.444 (36 / 9 = 4) 12345679 x 45 = 555.555.555 (45 / 9 = 5) 12345679 x 54 = 666.666.666 (54 / 9 = 6) 12345679 x 63 = 777.777.777 (63 / 9 = 7) 12345679 x 72 = 888.888.888 (72 / 9 = 8) 12345679 x 81 = 999.999.999 (81 / 9 = 9)